本文分为两个部分，第一部分是一道几何题的解析，第二部分是题目升级和升级后的解析。题目升级后难度大大增加，但我们得到的收获也更多。知识拓展部分介绍了欧几里得定理和垂线定理。祝阅读愉快。
小学五年级数学作业有这样一道题：题目看下图。
求正方形BCDF的面积
先审题，由题意可知，直角边AB=15厘米，直角边BE=10厘米，要求的未知数是正方形BCDF的边长。这里介绍两种解题思路和方法。在解题之前，先思考一下，这个图形是怎么作图的呢？
答案很简单，B角是直角，作它的角平分线与斜边交于点F，就得到了正方形的一个顶点。再从点F出发，依次作它与两条直角边的垂线，得到两个交点D和C，于是我们就作出了给定直角三角形内的最大正方形。
下面开始解题。先讲一个普通思路，再讲一个比较巧妙的方法，需要想象力的方法。
用一条辅助线解决战斗
先看图，上图在题目所给出的图形上添加了一条辅助线BE，把直角三角形ABE分为三角形ABF和三角形BEF。接下来就是用代数方法解决几何问题。
设正方形的边长为X，根据两个小三角形面积之和等于大三角形面积的等量关系，列方程式求解未知数X：
15X÷2+10X÷2=10×15÷2
解方程得出X=6（厘米）
于是，正方形面积=6×6=36（cm²）
列方程式是万能方法，简单粗暴，干脆利落就解决战斗了。
再介绍一个需要想象力的拼图方法求正方形面积。请看下图：
把题目所给的图形复制一份，再切割成3块
这个方法也可以称为割补法。把这两个一模一样的直角三角形如图切成3块，再按下图的形状拼图：
拼图构成一个长方形
因为正方形的边长是上图直角三角形切割后的3块的公共边，所以可以拼成一个长方形。观察这个长方形，容易看出，长方形的短边是正方形的边长，长边是10+15=25（cm），这个长方形的面积很容易计算，它等于两个题目所给出的直角三角形之和，即10×15=150（cm²），那么正方形的边长就是：
150÷（10+15）=6（cm）
题目做完了，就万事大吉了吗？
不，还应该再想一想，多想几个假如。
把题目改为：直角三角形 ADF 中，直角边AD为 15 厘米，直角三角形 CEF 中，直角边CE为 10 厘米，在直角三角形ABE内作一个最大的正方形，求正方形的面积。
那么该怎么做呢？
题目难度升级1
如果列方程式来解题，就会涉及到一元二次方程。还有更好的方法，不过需要我们展开想象力的翅膀。没有想象力就没有沙漠中的拉斯维加斯，让我们构造一个辅助图形，挥出开掘沙漠的第一锄。请看下图：
题目难度升级1解答图
请看解答图，虚线画出的辅助图形中，我们把直角三角形补全为一个长方形，这个长方形由两个全等的直角三角形构成。容易看出，虚线的长方形面积和正方形BCDF面积相等，因为两个全等三角形减去的面积相等，剩下部分的面积虽然形状不同，但面积当然相等。
于是，正方形BCDF的面积心算即可得出答案：15×10=150（cm²）
题目难度再次升级，请看下图：
题目难度升级2
这次已知的数据变成了斜边的两部分，长度分别为15cm和10cm，问三角形ADF和三角形CEF的面积之和是多少？问正方形的面积是多少？
由于题目难度再次升级，导致前两题用过的方法不够用了，需要我们的想象力展开翅膀飞得更高飞得更远。再次审题，看看已知条件能够提供什么有用信息。我们发现角AED+角CEF=90°，这就给了我们一个提示，可以再次玩拼图游戏，把这两小三角形拼成一个中三角形，请看下图：
题目难度升级2解答图
我们把小三角形CEF移动到正方形内部，变成了小三角形DFH。于是两个小三角形拼成了中三角形AFH。已知角1+角2=90°，角3=角2，那么角1+角3=90°，所以三角形AFH是直角三角形，它的面积等于三角形ADF和三角形CEF的面积之和。因为直角三角形AFH的两条直角边是已知数据10和15，所以心算即可得出它的面积是10×15÷2=75（cm²）问题的第一问已经圆满解决了。
再看第二问，求正方形的面积。观察中三角形AFH，我们发现三角形ADF和三角形DFH的公共边DF是要求的正方形的边长，也是直角三角形AFH斜边上的垂线和高，于是问题就可以转化为下面这个问题了，请看下图：
已知直角三角形三条边的长度
图中的线段AD相当于正方形的边长，它是三角形ABC的高，把斜边BC分为BD和CD两个部分，把三角形ABC分为两个小三角形ABD和ACD。只有求出AD的长度，就知道了正方形的面积。
我们用两种方法来计算图中角B的正弦，在三角形ABD中，sinB=对边：斜边=AD：AB=AD：6；在三角形ABC中，sinB=对边：斜边=AC：BC=8：10，于是得到
AD：6=8：10，
即AD=4.8（cm），用勾股定理可得BD=3.6cm，CD=10-3.6=6.4cm
用小学生能够听懂的方法来计算AD的长度应该用面积法：用两种方法计算三角形ABC的面积，可得
6×8÷2=高×10÷2
即AD=4.8（cm），用勾股定理可得BD=3.6cm，CD=10-3.6=6.4cm
图中的AD不仅是三角形ABC的高，它还是线段BD和CD的比例中项，即
BD：AD=AD：CD
于是我们知道了3.6和6.4这两个数的几何平均数是4.8
如果你知道欧几里得定理，就能够知道更多关于三角形ABC的信息。
欧几里得定理：在一直角边上的正方形面积和一个长方形的面积相等，这长方形的一边是这直角边在斜边上的投影，另一边是斜边本身。
解释一下：定理告诉我们，以线段AB为边作一个正方形，它的面积等于BD×BC，即
AB×AB=BD×BC，也就是6×6=3.6×10
以线段AC为边作一个正方形，它的面积等于CD×BC，即
AC×AC=CD×BC，也就是8×8=6.4×10
关于直角三角形还有一个有趣的定理是垂线定理：
在直角三角形中，以斜边上的垂线为边的正方形面积等于以斜边上两线段为边的长方形的面积。
在直角三角形ABC中，即AD²=BD×CD，也就是
4.8×4.8=3.6×6.4
验算一下：4.8×4.8=23.04
3.6×6.4=23.04
我们再回头看看题目难度升级2这张图，已知AF=15，EF=10，我们就能够计算出正方形的边长DF以及三角形ADF和三角形CEF三条边的长度。